4. 数值的例子
3个月前 作者： 卡尔·波普尔
在讨论一些数值例子——这些例子必须取自于那些把概率运用于靠碰运气取胜的游戏的理论或者统计理论——之前，我希望先对纯粹容度和概率理论中的数值作些一般的论述。
除了那些我们能用一般方式（或者借助在投骰子时的等概率假定，或者借助统计假说）度量概率的概率论应用而外，我看不出有把数值（除了0和1）赋予我们的概率或容度的量度的可能。就此而言，纯粹概率论和纯粹容度理论很像欧几里得几何：欧几里得几何里没有加以定义的实际单位。（巴黎单位米的定义无疑是超几何学的。）我们不必因为纯粹概率论或容度理论不提供实际的数值（除了0和1）而担心。因此，我们的地位在许多方面更像拓扑学，而不是度量几何。(12)
现在来谈数值例子。我将区分两种类型。
（1）普通掷骰子型的例子。这里，如果比如说4朝上，而我们猜的是5朝上，那么，我们认为，这不比猜6朝上更好，也不更坏。（这里是在离真实更近或更远的意义上使用更好或更坏的。）
（ii）我们的猜测离开真实之距离有一种度量的例子。我们能够用下述假设来表示这一例子：如果事实上4朝上，则5将朝上（或3将朝上）这个猜测或命题就把6将朝上（或2将朝上）这个命题同真理隔开了；由于这个缘故，因此如果a＝6，则aT就将是6ν5ν4，而不是6ν4（或者aT＝2ν3ν4）。(13)
这里和下面，“a＝6”或“a＝6ν4”都用于表达“a＝6将朝上”或“a＝6ν4将朝上”，等等。
我们取几颗同类的骰子。
我首先计算类型（i）的三个例子。
（1）
a＝6；b＝4；b＝t
我们有：
aT＝6ν4；p（a，aT）＝1/2；p（aT）＝1/3
VS（a）＝1/5
（2）
a＝5；b＝4；b＝t
我们有aT＝5ν4。这计算和结果同情形（1）相同。
（3）
a＝6ν5；b＝4；b＝t
我们有：
aT＝6ν5ν4；p（a，aT）＝2/3；p（aT）＝1/2
VS（a）＝1/7
我们现在可以把这些和类型（ii）的三个相应的例子加以比较。差别在于aT的计算。
（1’）
a＝6；b＝4；b＝t
我们有：
aT＝6ν5ν4；p（a，aT）＝1/3；p（aT）＝1/2
VS（a）＝－1/5
（2’）
a＝5；b＝4；b＝t
我们有：
aT＝5ν4；p（a，aT）＝1/2；p（aT）＝1/3
VS（a）＝1/5
（3’）
a＝6ν5；b＝4；b＝t
我们有：
aT＝6ν5ν4；p（a，aT）＝2/3；p（aT）＝1/2
VS（a）＝1/7。
我现在再增加两个准确猜测的例子：
（1”）
a＝6；b＝6；b＝t；
VS（a）＝5/7。
（2”）
a＝6ν5；b＝6；b＝t；
VS（a）＝1/2。
于是，我们看到，逼真度可能随着a的容度而增加，随着a的概率而减少。
