3. 逼真性

    这一节将进一步讨论和发展第十章第Ⅹ和Ⅺ节的思想（这里假定读者已经读过它们）。


    在塔尔斯基的真理理论中，“真理”是陈述</a>的一个性质。我们可以用“T”标示某种人工的语言（对象语言；参见下面第5节）的所有真陈述的类。我们可以用


    a∈T


    表达（某种元语言的）断定：陈述a是真陈述类的一个成员，换句话说，a是真的。


    我们在这里的首要任务是定义一个陈述a的真内容的观念，我们用“CtT（a）”标示它。这定义必须使得一个假陈述和一个真陈述都有真内容。


    如果a是真的，那么a的真内容CtT（a）（或更确切地说，它的度量）将仅仅是a的内容的度量；也即


    （1）


    式中我们可以像第2节的（1）一样，建立


    （2）


    Ct（a）＝1－p（a）。


    假如a是假的，则正如已经提到过的那样，它仍然可以有真内容。因为，假定今天是星期一，那么陈述“今天是星期二”将是假的。但是，这个假陈述将蕴含一些真陈述，例如“今天不是星期三”或“今天或者是星期一或者是星期二”；它所蕴含的所有真陈述的类将是它的（逻辑的）真内容。换句话说，每个假陈述都蕴含一个真陈述类这个事实是把一个真内容赋予每个假陈述的基础。


    所以，我们将把陈述a的（逻辑的）真内容定义为既属于a的（逻辑的）内容又属于T的那些陈述的类；因而我们也解释了它的真内容的度量CtT（a）。


    为了在理论C t或p（这里C t（a）＝1－p（a））的内部给CtT（a）观念下定义，我们可以应用各种方法。


    最简单的方法或许是同意，在像p（a）或p（a，b）这样的表达式内，字母“a”、“b”等等不仅可以是陈述的名字（因而也是，例如，有限个陈述的合取的名字），而且也可以是陈述的类的名称（或者属于这些类的所有陈述的有限或无限的合取的名字），因此，我们也就同意用符号“t”(11)（在像p（t）、p（a，t）或p（t，b）这样的语境之中）代替“T”，并把它看作是所考虑的语言系统（或陈述系统）的一切真陈述的（有限或无限的）合取。换句话说，我们把符号“t”用作变项“a”、“b”等等可能取的常值之一，并且同意以下述方式使用它：


    （3）t的推论类或逻辑内容是T。


    然后我们定义一个新符号“aT”如下：


    （4）


    aT＝avt


    我们从这个定义得出（用“”标示“蕴含”即“从……推出……”）


    （5）


    从而还得出


    （6）


    p（aaT）＝p（a），


    （7）


    p（a，aT）p（aT）＝p（aaT）＝p（a）。


    我们还得出


    （8）


    式中“”还是读做“b可从a推出（或者由a蕴含）”。因此，（8）的意思是：aT是a所蕴含的逻辑上最强的真陈述（或演绎系统）。因此，我们现在可以把a的真内容定义为aT的真内容，而它的度量CtT（a）现在可以定义如下：


    （9）


    CtT（a）＝Ct（aT）＝1－p（aT）


    从（9）和（5）得出


    （10）


    CtT（a）≤Ct（a）


    和


    （11）如果a∈T，那么aT＝a，以及CtT（a）＝Ct（a）


    为了定义“VS（a）”——即a的逼真性（的度量）——我们不仅需要a的真内容，而且还需要它的假内容——或者它的度量——因为我们希望把VS（a）定义为a的真内容和假内容之差异这类东西。但是，a的假内容或它的某种替代物的定义不是很简单的，因为存在这样的基本事实：T可以说是构成了一个推论类或内容（t的内容，参见上面的（3）），而我们系统的所有假陈述的类F却不是推论类。因为，虽则T包含T的一切逻辑推论——因为任何真东西的逻辑推论必定也是真的——但F并不包含所有它的逻辑推论：从一个真陈述只能推出真陈述，而从一个假陈述不仅能推出假陈述，而且也总能推出真陈述。


    因此，按类似于“真内容”的方式来定义“假内容”，看来是行不通的。


    为了得出a的假内容的度量C tF（a）的一个令人满意的定义，规定一些必需的定理是有益的：


    （i）


    （ii）


    （iii）


    0≤CtF（a）≤Ct（a）≤1


    （iv）


    CtF（contrad）＝Ct（contrad）＝1


    式中“contrad”是自相矛盾的陈述的名字。所需要的定理（iv）应该和定理


    CtT（tautol）＝Ct（tautol）＝0


    加以比较和对照。式中“tautol”是一个重言陈述的名字。


    （v）


    （vi）


    （vii）


    CtT（a）＋CtF（a）≥Ct（a）


    （如果取“a”为，例如“contrad”，则可看出这里用“≥”而不是“＝”的理由；因为在这种情况下，我们根据（iv）和C tT（a）＝Ct（t）得到CtF（a）＝Ct（a）＝1，但是，C t（t）是最大真内容，它通常区别于零。在一个无限域里，C t（t）＝1－p（t）通常将等于1。）


    （viii）CtF和CtT在下述意义上关于Ct是对称的：存在两种函数，f1和f2，以致


    （a）CtT（a）＋CtF（a）＝Ct（a）＋f1（CtT（a），CtF（a））＝Ct（a）＋f1（CtF（a），CtT（a））


    就是说，f1关于CtT和CtF是对称的；因此，结果我们便得到


    （b）


    CtT（a）＝f2（Ct（a），CtF（a））


    （c）


    CtF（a）＝f2（Ct（a），CtT（a））。


    在按这些方式定义“CtF（a）”的各种可能性中，以下定义是可取的，这里就采用这个定义：


    （12）


    CtF（a）＝1－p（a，aT）＝Ct（a，aT）


    这个定义满足我们的需要。对于所要求的定理（i）和（ii）来说，这是显而易见的；如果我们考虑以下定理，那么这对于其他所要求的定理来说，也变得很清楚：


    （13）


    因此


    （14）


    CtT（a）＝Ct（a）－（CtF（a）p（aT））≤Ct（a）


    （15）


    CtF（a）＝（Ct（a）－CtT（a））/p（aT）


    ＝（Ct（a）－CtT（a））/（1－CtT（a））


    （16）


    CtT（a）p（a，aT）＝p（a，aT）－（p（aT）p（a，aT））＝p（a，aT）－p（a）＝Ct（a）－CtF（a）


    于是，我们就得到


    （17）


    CtF（a）＝Ct（a）－（CtT（a）p（a，aT））≤Cta


    （18）


    我们从（15）还得到


    （19）


    CtF（a）－CtT（a）CtF（a）＝Ct（a）－CtT（a）


    从而还有


    （20）


    CtT（a）＋CtF（a）＝Ct（a）＋CtT（a）CtF（a）


    所以，（17）表明（iii）得到满足，而（20）表明（v）（vi）（vii）和（viii）也都得到满足。（iv）的满足可以从p（contrad，t）＝0得出。


    这表明，对CtF（a）所提出的定义（12）满足一切我们所需要的定理。但是，我们所需要的定理之一（vii）可能显得不可满足：或许可以看到——尽管我们对（vii）作了评论——我们应该假定


    （一）


    CtT（a）＋CtF（a）＝Ct（a）


    可以表明，方程（一）实际上决定了CtF：它将导致定义（我们不接受这个定义）


    CtF（a）＝Ct（aT→a）＝1－p（aT→a）


    式中“aT→a”（或者，我们还可以写作“arr;aT”），是条件陈述“如果aT，那么a”或者“a，如果aT”。


    把这个定义和我们的（12）相比较，或者换句话说，把Ct（arr;aT）和Ct（a，aT）相比较（后者就是我们的C tF（a）），或者把p（arr;aT）和p（a，aT）相比较，是很有意思的。


    诚然，我们有


    CtT（a）＋Ct（arr;aT）＝Ct（a）


    乍一看来，这似乎令人满意。


    但是，让我们用“contrad”代替a：


    CtT（contrad）＝Ct（t）＝1－p（t），


    如我们已经看到的那样，这是我们体系中可得到的最大真内容；因为Ct（contrad）＝1，所以我们得到Ct（arr;aT）＝Ct（contradrr;t）＝1－p（contradν－t）＝p（t）。现在，虽然C tT（contrad）＝Ct（t）完全无可非议——它显然是C tT（a）的一个令人满意的定义的推论，也显然是一切东西，因而包括t都从一个自相矛盾的陈述推出这一事实的推论——但是，CtF（contrad）＝p（t）的情形却并非如此；因为，这在大多数情况下会使得一个矛盾的假内容少于它的真内容，而我们本来期望一个矛盾的假内容至少等于它的真内容。


    举个例子，设我们的论域是掷骰子；设t是“3面朝上”；设p（t）为1/6。对CtF（a）＝Ct（arr;aT）所提出的（但这里是被拒斥了的）定义在现在的论域里将导致这样的结果：一个矛盾陈述（像“6将面朝上并且不朝上”）的假内容CtF（contrad）将等于1/6，而它的真内容C tT（contrad）将等于5/6。可见，一个矛盾陈述的真内容将大大超过假内容，而这显然是违反直观的。正因为这样，所以才要采用我们需要的定理（iv）；这个定理导致


    CtT（a）＋CtF（a）＞Ct（a）


    的情形。


    从这一切可以看到，我们所需要的定理（iv）可由下面两条高度直观的定理代替：


    （iv，a）


    CtF（contrad）＝常数，


    （iv，b）


    CtF（contrad）≥CtT（contrad）。


    附带指出，事实上我们每每得到


    （21）


    CtF（a）－Ct（arr;aT）＝CtF（a）CtT（a），


    这看来有点令人惊讶。但是，它只是下面更为一般的公式的一个直接推论：


    （22）


    p（arr;b）－p（a，b）＝Ct（a，b）Ct（b），


    这个公式我在好多年前就得出了，为的是要表明，一个条件陈述“a，如果b”（或者陈述“如果b，那么a”）的绝对概率通常超过某个陈述a（对于另一个给定陈述b）的相对概率。


    （因此，可以说，公式（22）把朝向左边的箭头“rr;”和逗号“，”进行了比较，并计算了条件概率对于相对概率的永恒非负的超出量：


    Exc（a，b）＝p（arr;b）－p（a，b）。）


    定义了真内容和假内容的度量之后，我们现在可以来定义VS（a）即a的似真度了。就我们仅对相对值感兴趣而言，我们能够用


    CtT（a）－CtF（a）＝p（a，aT）－p（aT）


    作为定义者。如果我们对数值感兴趣，那么最好用一个正规化因子去乘它，并且用（p（a，aT）－p（aT））/（p（a，aT）＋p（aT））作为定义者。因为，我们希望下面的所需要定理得到满足。


    因此，我们得到


    （v）


    －1＝VS（contrad）≤VS（a）≤＋1；


    （vi）在一个Ct（t）可以成为1的无限域中，VS（t）应该也能成为1。


    这里应该指出，C t（t）＝1－p（t）将取决于我们论域的选择。甚至在一个潜在无限的论域里，它也可能小于1，就如下述例子所表明的那样：设我们的论域包含互斥可能的一个可数无限集a1，a2，……，并设p（a1）＝1/2，p（a2）＝1/4，p（a3）＝1/8，p（an）＝1/2n；此外，再设这些可能性中只有一个得到实现：t＝a1；那么，Ct（t）＝1/2。


    因此，为了作数值计算，最好是用一个正规化的形式去代替p（a，aT）－p（aT）；我们选取正规化因子1/（p（a，aT）＋p（aT））；就是说，如上所述，我们定义：


    （23）VS（a）＝（p（a，aT）－p（aT））/（p（a，aT）＋p（aT））。


    我们现在得到：


    （24）如果a∈T，那么VS（a）＝CtT（a）/（1＋p（aT））＝Ct（a）/（1＋p（a）），


    （25）


    VS（tautol）＝0，


    和


    （26）


    VS（contrad）＝－1。


    还存在其他各种可能的定义。例如，我们可以引入其他正规化因子，如CtT（a）、Ct（a）或者CtT（a）＋CtF（a）。我认为，这些不会导致VS（a）的恰当定义，倒是会导致像“真值度”这类观念的定义。