第4节

    从欧几里得（2200年前）以来，数学家一般都是从某些称为“公理”的陈述出发，推导出各种有用的结论。


    从某种意义上说，这几乎就像是一种必须遵守两条规则的游戏。第一，公理应当尽量少。如果你能从某一条公理推导出另一条公理，所么，所推导出的那条公理就不能作为公理。


    第二，公理必须是没有内在矛盾的。绝不允许从某一公理推导出两个相互矛盾的结论。


    任何一本中学几何课本都要先列出一组公理：通过两点只能作一条直线；整体等于各个部分之和，等等。在很长一段时间内，人们都把欧几里得的公理看作是唯一可用来建立没有内在矛盾的几何学的公理，从而把这些公理看作是“真公理”。


    但是，到了十九世纪，有人证明了欧几里得的公理是可以用某些方式来加以改变的，因而可以建立另外一种不同的几何学，即“非欧几里得几何学”。这两种几何学虽然各不相同，但每一种几何学都不具有内在矛盾。从此以后，人们如果要问哪一种几何学是真几何学，就没有意义了。如果要问，就只能问哪一种几何学更有用些。


    事实上，我们可以用许多组公理来建立几种各不相同但又各自并不具有内在矛盾的数学体系。


    在任何一种这样的数学体系中，你都必定不可能根据它的公理推导出既是如此又非如此的结论，因为如果这样的话，这个数学体系就不可能不具有内在矛盾，就会遭到淘汰。


    但是，倘若你能做出一种陈述，并且发现你不能证明它既是如此又非如此的话，又将怎么样呢？


    假如我说：“我现在所说的是假话”。


    是假话吗？如果是假话，那么，我在说假话这件事就是假的了，因此，我必定在说真话。如果我在说真话，那么我在说假话这件事就是真的了，因此，我确实在说假话。我可以永无休止地来回这样说，结果，将永远无法证明我所说的到底是如此，还是并非如此。


    假如你能对这些逻辑公理进行调整，以排除上面所说的这种可能性，那么，你能不能找到另外的方法来做出这样一种既是如此，又非如此的说法？


    1931年，一位奥地利数学家戈德尔终于提出一个有力的证明，他指出，对于任何一组公理，你都能做出既不能根据这些公理来证明事实确是如此，也不能根据这些公理来证明事实确非如此的说法。从这个意义上讲，任何人都不可能建立出一种可以凭此推导出一个完美无缺的数学体系的公理。


    这是不是意味着我们永远不可能找到“真理”呢？当然不是的。


    第一，因为一种数学体系不完美，并不意味着它所包含的东西是“假的”。如果我们不想超出这样的数学体系的限度来应用它，它就仍然是极其有用的。


    第二，戈德尔证明只适用于数学中所应用的那几种演绎体系。但是演绎并不是发现“真理”的唯一办法。任何公理都不能帮助我们去推导出太阳系的大小。太阳系的大小是通过观察和测量而得出的——观测是得到“真理”的另一途径。