第一节 数学、天文学与地图学

    数学　魏晋南北朝时期，我国涌现了一批优秀的数学家。


    刘徽</a>，魏晋时数学家，撰有《九章算术</a>注》和《海岛算经</a>》。《隋书</a>·律历志》云：“魏陈留王（曹奂）景元四年（公元263年）刘徽注《九章》。”刘徽在《九章算术·方田》章圆田术注和《商功》章圆术注里都提到“晋武库中有汉时王莽所作铜斛”。而晋武库于惠帝元康</a>五年（公元295年）发生火灾，“焚累代之宝”（《晋书</a>·惠帝纪》）。可知刘徽撰《九章算术注》，始于曹魏景元四年，而成于西晋武帝时。刘徽在《九章算术·方田》章约分术注说道：“物之数量，不可悉全（整数），必以分（分数）言之。”《少广》章开方术注说道：“凡开积（正方形面积）为方（方边），方之自乘当还复其积。”《方程》章正负术注里说道：“今两算（数）得失相反，要令正负以名之。”他对于抽象的数学概念，都已作了正确的注解，而且说得很透彻。刘徽还在《九章算术·少广》章开立圆术注里算出球体积是球径立方的十六分之九，指出东汉张衡</a>受着“阴阳奇偶之说”的束缚，“不顾疏密”，以致把球体积算成是球径立方的八分之五，错误是非常明显的。在这个问题上，充分体现了他那种实事求是的唯物主义精神。


    《九章算术》圆面积的量法，采用古法的“周三径一”（π＝3），这是不够精密的。西汉末，新莽铸铜斛，从它的铭文，知道铜斛的圆径是1.4142＋2×0.0095＝1.4332尺，圆面积是1.62方尺。从圆径和面积，计算出圆周率约等于4×1.62÷1.43322＝3.1547。东汉时，张衡著《灵宪</a>》，取为圆周率。东吴王蕃《浑仪论》取为圆周率。这些圆周率的近似值，都不够精密。刘徽认为旧的割圆率太疏舛，应该“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”（《九章算术·方田》章圆田术注）。刘徽从圆内接正六边形开始，逐次加倍地增加边数，一直计算到内接正九十六边形。由于面积的增大，边数愈大则内接正多边形面积愈近于圆面积。刘徽在实际计算中，采用了来计算圆面积。而在精密计算中，认为圆面积等于方寸，由此得这个近似分数值，化成十进小数是3.1416，自然是更加精密了。刘徽虽然只求到小数后第四位，但他知道可以继续往下算下去。刘徽在中国数学史上，可以算作第一个用“极限”的人。


    刘徽在《九章算术·少广》章开方术注中，认为在开平方或开立方不尽时，原来那种用分数来表示奇零部分的方法也并不十分准确，他主张继续开方下去，“求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细”。以求得出以十进分数表示平方根或立方根的近似值来。刘徽在《九章算术注》中还创立了不少新的演算方法，比起旧的演算方法来要简捷得多。


    在西汉时，天文学家为了测量夏至日太阳离地面的高度，创立了两次测量日影的方法，东汉数学家称之为重差术。举例来说，在南北相距一千里的两处地方，各立高八尺的表，夏至日日中量二表的影长，北表影长一尺六寸，南表影长一尺五寸，影长相差一寸。由此计算夏至日太阳高出地面约为里。因为地面是球面，不是平面，用这种方法来测量太阳的高远，是不会得到正确的答数的。但是如果用它来测量地面上近距离的目的物的高、深、广、远，譬如推算海岛的距离，测量高楼的高远，还是有用处的。刘徽在《九章算术注》中总结了这种方法，举出九个例题来说明它的应用，补写了《重差》一章。到了唐朝初年，这一章独立成书，称为《海岛算经》，作为当时官立算学（培养天文、数学人才的学校）的重要教材。刘徽在数学上的贡献是很大的。


    祖冲之（公元429—500年），字文远，南朝宋、齐时人，祖籍范阳遒县（今河北涞源北），祖先流寓江南。冲之历仕宋、齐，官至长水校尉。他是南北朝时代一位杰出的科学家，在天文历法、数学、机械制造等方面都有重大成就。在数学方面，他在刘徽的基础上，“更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数（过剩近似值）三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，数（不足近似术）三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈、二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二”（《隋书·律历志》上）。他精确地算出圆周率是在 3.1415926和3.1415927之间。他还求得两个分数值的圆周率，一个是（约等于3.1415927），这一个数比较精密，所以称为“密率”；另一个是（约等于3.14），这一个数比较粗疏，所以称为“约率”。祖冲之是世界上第一个把圆周率的准确数值算到小数点后七位数字的人。九百多年以后，15世纪时阿拉伯数学家阿尔·卡西（拉丁音al-Kashi）求得的结果方才超过了他的成就。至于密率，在欧洲直到1573年，德国的奥托（Valenlinus Otto）才重新得到这一数值，这已是一千一百年后的事了。祖冲之在数学方面的研究成果，记载在他的数学名著《缀术</a>》里。这部书到了唐代被列为算学的主要课本之一，学习年限四年，政府举行数学考试时多从《缀术》中出题，它的重要性可想而知。可惜到了北宋中期，这部很有价值的科学著作竟失传了。


    祖冲之的儿子祖，生活在南齐和梁朝，也是一位有名的数学家。颜之推</a>就说：“算术亦是六艺要事，……江南此学殊少，唯范阳祖精之。”（《颜氏家训</a>·杂艺篇》）他首先求出球体积的准确公式，这也是我国数学史上一件重要事情。


    《孙子</a>算经</a>》，撰人无考，大概是十六国后期、北魏前期的著作，北周甄鸾</a>、唐李淳风</a>注释。


    《孙子算经》共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制，和筹算乘除法则。卷中举例说明筹算分数算法和筹算平方法，都是考证古代筹算法的绝好资料。卷中和卷下所选的应用问题大都浅近易晓，在《九章算术》范围内，每章各举一二个典型例题，指示解题方法，对于初学数学的人是有帮助的。


    《孙子算经》卷下又选取几个算术难题，在解答时，故意将解法的思想过程隐藏起来，使读者很难理会解决同类问题的一般原则。例如：“今有妇人河上荡杯。津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客。’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？’答曰：‘六十人。’”解题术文指示：“置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得。”没有说明。


    又例如：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。”设头数是A，足数是B，则是兔数，是雉数。这个解法是很奇妙的。


    《孙子算经》卷下最著名的问题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“答曰：二十三。”这个问题用整数论里的同余式符号表达出来，是：设N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7），求最小的数N，答案是N＝23。《孙子算经》本题的术文说</a>：“三三数之剩二置一百四十，五五数之剩三置六十三，七七数之剩二置三十，并之得二百三十三，以二百十减之，即得。”按照术文，这问题的解法是N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105＝23。术文又说：“凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。”用下列一次同余式组N≡R1（mod3）≡R2（mod5）≡R3（mod7）的解是：N＝70R1＋21R2＋15R3－105P（P是整数）。


    《孙子算经》的“物不知数”问题，颇有猜谜的趣味，而且它的解法也很巧妙，流传到后世，有“秦王暗点兵”、“剪管术”、“鬼谷算”、“韩信点兵”、“隔墙算”、“大衍求一术”等等名称，作为科技文娱活动中的一个节目。欧洲18世纪中叶，欧勒（L. Euler，公元1707—1783年）、拉格朗日（J. L. Lagrange，公元1736—1813年）等都对一次同余式问题进行过研究，德国数学家高斯（C. F. Gauss，公元1777—1855年）于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。当时欧洲的数学家们对中国古代数学毫无所知，高斯是通过独立研究得出他的成果的。公元1851年，英国基督教士伟烈亚力（Alexander Wylie，公元1815—1887年）把《孙子算经》物不知数问题的解法介绍到欧洲，公元1876年，德国人马蒂生（L. Mathiesen）指出《孙子算经》的解法符合高斯的定理，从而西方数学家把这一个定理称为“中国剩余定理”。


    《孙子算经》中所选的问题也有违反科学的东西，如卷下的最后一题：“今有孕妇行年二十九，难九月，未知所生。”“答曰：生男。”这不是一个算术问题，把它列入算术书内是荒谬可笑的。


    《张丘建</a>算经</a>》，大概是北魏前期的张丘建撰写。这部算术书一共保存了九十二个算题，对我国数学有一定贡献。


    《张丘建算经》卷下最后一题：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？”设x、y、z为鸡翁、母、雏只数，依据题意，列出下列方程：


    两个方程有三个未知量，所以是不定方程组。它的整数解应该是：


    本题有三组答案：答曰：“鸡翁四，直钱二十；鸡母十八，直钱五十四；鸡雏七十八，直钱二十六。”又答：“鸡翁八，直钱四十；鸡母十一，直钱三十三；鸡雏八十一，直钱二十七。”又答：“鸡翁十二，直钱六十；鸡母四，直钱十二；鸡雏八十四，直钱二十八。”但术文只写“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得”十七字，说明整数解中参数七的三个系数，没有指示整个问题的解法。


    甄鸾，中山毋极（今河北无极）人。北周武帝世，任司隶大夫、汉中郡守。通天文历法，保定时撰《天和历》，于天和元年（公元566年）被采用颁行。鸾并撰《五曹算经</a>》、《五经</a>算术</a>》、《数术记遗</a>》。


    《五曹算经》是一部为地方军政人员所写的应用算术书。全书五卷，用田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹五个项目标题，所有算术问题都能切合当时实际，解题方法都很浅近。


    《五经算术》是对于中国古代五部经籍《书》、《诗》、《周易</a>》、《礼记</a>》、《论语</a>》需要用数学计算的地方，作了注解。但由于古制渺茫，甄鸾往往用后世的制度来解释它，未必解释得当，对经学的用处不大。


    《数术记遣》，题汉徐岳</a>撰，北周汉中郡守前司隶臣甄鸾注。书中有“刹那”、“大千”等佛经词汇，不像汉代的作品，恐怕是魏晋以后人的著作，不过托名汉人而已。书中介绍“珠算”时说：“刻板为三分，其上下二分，以停游珠；中间一分，以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一。”因为板中没有像今天算盘那样设置横梁，所以上边记五的珠，和下边记一的珠，须要用不同的颜色来加以识别。明朝的算盘，可能由这种珠算改进发展而来[1]。


    天文历法　在魏晋南北朝，有不少优秀的科学家，在天文和历法方面通过刻苦钻研，取得了较大的成就。


    在魏晋以前，我国天文学界对于宇宙的看法，大致可以分为三个派别，即盖天、宣夜、浑天三家。魏晋时期，又有昕天、安天、穹天三家。合起来称为论天六家。


    盖天家和《周髀算经</a>》的说法，基本相同，因此也得称为周髀家。他们说：“天圆如张盖，地方如棋局。”又说：“天似盖笠，地法覆，天地各中高外下。”他们认为天是以天中北极为中心而旋转着，地则静止而不动的。他们认为“天旁转如推磨而左行，日月右行，随天左转，故日月实东行，而天牵之以西没”（并见《晋书·天文志》）。然而事实恰恰相反，天和日月都是在左转，不过日月走得较慢而已。这一派的学说，荒谬很多，但知道利用日晷来探测一年是三百六十五天又四分之一，同时知道二十四个节气的推移，还是有它可以肯定的地方。


    宣夜家的专门著作，已经亡佚，据《晋书·天文志》载汉秘书郎郗萌记载宣夜家先师的说法：“天了无质，仰而瞻之，高远无极，眼瞀精绝，故苍苍然也。譬之旁望远道之黄山而皆青，俯察千仞之深谷而窈黑，夫青非真色，而黑非有体也。日月众星，自然浮生虚空之中，其行其止，皆须气焉。是以七曜或逝或住，或顺或逆，伏见无常，进退不同，由乎无所根系，故各异也。”（《晋书·天文志》）宣夜家是在作了很多恒星的测定工作之后，得出七曜不是缀附于天球，无所根系，这种独到的创见，可惜在东汉那样谶纬迷信占统治地位的天文学界，没有能够发展下去，而被窒杀了。


    浑天家认为：“天如鸡子，天体圆如弹丸。地如鸡中黄，孤居于天内，天大而地小。天表里有水。天之包地犹壳之裹黄。天地各乘气而立，载水而浮。周天三百六十五度四分度之一，又中分之，则一百八十二度八分之五覆地上，一百八十二度八分之五绕地下，故二十八宿半见半隐，其两端谓之南北极。……天转如车毂之运也，周旋无端，其形浑浑，故曰浑天。”（《经典集林》卷27张衡《浑天仪注》辑佚）这里除了“天表里有水”和“天地各……载水而浮”两句话，讲得不对头以外，其余基本上都是接近正确的。


    魏晋论天三家中，吴太常姚信著《昕天论》。他说：“又冬至……日去人远……故冰寒也。夏至……日去人近……故蒸热也。”这和事实恰恰相反。又说：冬至“极之低时，日行地中深，故夜长”，夏至“极之高时，日行地中浅，故夜短”（《晋书·天文志》），这也不正确。


    东晋河间相虞耸撰《穹天论》。他说：“天形穹隆如鸡子，幕其际，周接四海之表，浮于元气之上。譬如覆奁以抑水，而不没者，气充其中故也。日绕辰极，没西而还东，不出入地中”（《晋书·天文志》）。和浑天家的说法，基本相同。


    东晋成帝咸康（公元335—342年）中，虞喜作《安天论》。他认为“天高穷于无穷，地深测于不测。天确乎在上，有常安之形；地魄焉在下，有居静之体。当相覆冒，方则俱方，圆则俱圆，无方圆不同之义也。其光耀布列，各自运行，犹江海之有潮汐，万品之有行藏也”（《晋书·天文志》）。虞喜的论点，首先认为天是无穷大的，《安天论》不是说天安而不动，而是说天上日月五星列宿的运动，“犹江海之有潮汐”，有规律可循。这种说法和宣夜家非常接近。当时的唯心主义有神论者葛洪</a>对这个论点进行攻击，他说：“苟辰宿不丽于天，天为无用，便可言无，何必复云有之而不动乎。”（《晋书·天文志》引）


    浑天家的理论实践，必然会和浑天仪（即天球仪）联系起来。


    浑天仪：西汉武帝时期，有落下闳、耿寿昌等创立浑天仪，铸铜为之。东汉和帝时，贾逵又造黄道铜仪，以测定黄道宿度。顺帝阳嘉元年（公元132年），“张衡又制浑象，具内外规、南北极、黄赤道，列二十四气、二十八宿中外星官及日月五纬”（《晋书·天文志》）。“以四分为一度，周天一丈四尺六寸一分。亦于密室中，以漏水转之。令司之者闭户而唱之，以告灵台之观天者，玑所加，某星始见，某星已中，某星今没，皆如合符”（《隋书·天文志》），制作非常巧妙。东吴时人王蕃以为张衡之前的浑天仪，尺寸太小，张衡的浑天仪尺寸又太大，转动困难，他更铸浑天铜仪，大小介乎两者之间。西晋灭吴，王蕃的这个浑天仪就不知下落了。


    前赵刘曜光初六年（公元323年），史官丞孔挺据张衡遗制铸造浑天铜仪。东晋义熙十四年（公元418年），刘裕破后秦，入长安，获孔挺所造浑天仪，后来把它搬到建康，一直到梁朝末年，此仪犹安放在建康的华林苑重云殿前。北魏明元帝（拓跋嗣）永兴四年（公元412年），铸铜铁浑天仪，至隋尚继续行用。但专家们根据遗留的片段材料，认为孔挺等所造的浑天仪，只有四游仪和六合仪部分，而没有三辰仪部分。


    圭表：古代有土圭，用来测量日影长短，借以推算太阳距离赤道南北的远近。土圭除了测定回归年的长度以外，还可以用来测定时刻，当作日晷用。梁天监（公元502—519年）中，祖曾在高山山顶上造八尺长的铜表作为日晷，下面和石圭相连接，圭面还掘着沟，把水倒在沟里，以定水平，这可以说是后世定水平方法的开端。他还利用圭表来测定南北线的方向。


    漏刻：即漏壶，是钟表没有发明以前，古代的一种计时工具。分单壶和复壶两种。单壶只有一个贮水壶，壶底穿有一孔，壶中直立一箭，箭上刻有度数。壶中装满了水，水按漏渐减，箭上所刻度数，也就依次显露，这样就可以知道时间。汉代漏水“总以百刻，分于昼夜。冬至昼漏四十刻，夜漏六十刻。夏至昼漏六十刻，夜漏四十刻。春秋</a>二分，昼夜各五十刻。……冬夏二至之间，凡差二十刻”（《隋书·天文志》）。漏刻都随着二十四个节气的变化而随气增损。白昼分为五个阶段，朝、禺、中、晡、夕；夜间分为五个阶段，甲、乙、丙、丁、戊。昼夜共用四十八箭。魏晋承用这个制度，没有改变。东晋成帝咸和七年（公元332年），会稽山阴令魏丕造漏刻成，献给政府，大概也是根据汉魏的制度来造的。


    宋朝何承天修《元嘉历》，他“考验日宿”，“测量晷度，知冬至移旧四日”，因此主张改定漏法。《元嘉历》定冬至昼漏四十五刻，夜漏五十五刻。夏至昼漏六十五刻，夜漏三十五刻。春秋二分昼漏五十五刻五分，夜漏四十四刻五分。南齐至梁初年，都行用这个漏刻。


    梁武帝</a>天监六年，改昼夜百刻为九十六刻。又命祖造《漏经》，大同十年（公元544年）颁行之，昼夜改用一百零八刻。冬至昼漏四十八刻，夜漏六十刻。夏至昼漏七十刻，夜漏三十八刻。春秋二分，昼漏并六十刻，夜漏四十八刻。陈又恢复昼夜百刻的制度。北朝并以百刻分于昼夜。


    关于历法，汉末刘洪密测二十余年，造《乾象历》，由此才知道月行有迟疾。他作《七曜术》，创迟疾阴阳二术。魏晋时历法家都把他的著作作为重要参考材料。


    魏明帝太和（公元227—232年）中，杨伟造《景初历》。他知道黄道和白道的交点每年有变动，交食的发生不一定非在交点不可，月朔在交点附近也可以发生日蚀，月望在交点附近也可以发生月蚀，于是定出交会迟疾的差，这和现在的食限一样；他又提出推算交食亏始方位角和食分多少的方法。这些都是以前历法所没有的。《景初历》在西晋初年改名为《泰始历》，到宋初又改名为《永初历》，北魏也用过它，它实际使用了二百十五年。


    宋文帝元嘉二十二年（公元445年），改用何承天造的《元嘉历》。《元嘉历》施用不久，祖冲之通过自己的观测和研究，发现它还不够精密，于是在宋孝武帝大明六年（公元462年），编成了一部《大明历》。祖冲之在这部新历法中，作出了不少重大改革。他毅然修改了闰法，并且应用了“岁差”的原理，这两项是发展了当时天文学上的先进成果。而且他精确地测出一回归年的日数是365.24281481日，与现代科学所得日数相比，只差约五十秒。他又求出“交点月”的数值是27.21223日，跟现在测得的值只差十万分之一。交点月就是地球上所看到月球运行的轨道和太阳运行的轨道间的相互关系，这对推算日蚀和月蚀是非常重要的。《大明历》是当时最好的历法，但是由于保守势力的反对，直到梁天监九年，才被梁朝采用。陈朝继续沿用，到隋开皇九年（公元589年）陈亡为止，前后共施行了八十年。


    在公元前五百年前后，我国的天文学家在制订历法时，就把十九年算作一章，每一章里有七个闰月。按照这种闰周，闰数嫌大了些，经过二百四十多年，就要相差一天。自从东汉以后，天文观测记录的积累增多了，统计所得的回归年日数和朔望月日数更加精密了，必须改良闰周来调整回归年数和朔望月数的比率。在十六国后期，河西走廊的北凉，有一位优秀的历法家赵，他于公元412年制定《元始历》，开始改订闰周，把六百年算作一章，在每一章里有二百二十一个闰月，因为要略小于，所以赵的改订闰周，在天文学史上讲来是有重要意义的。


    赵的《元始历》传到南朝之后，祖冲之在编制《大明历》时，就吸取了赵的先进成果，并加以改进，提出三百九十一年内设置一百四十四个闰月的新闰法，这就更符合实际情况了。


    从汉代以来，历法家一直认为太阳在黄道上的运动速度是均匀不变的，一回归年365.25日中等速地走了一周天。一周天就是365.25度，太阳每天正好走一度。把一回归年均分为二十四等分，对应二十四个节气，每个节气各占15.22日。这种推算节气的方法，称为“平气”或“恒气”。实际上太阳在天球上的运转是地球绕太阳公转的反映。地球走到近日点时，速度最快，因而太阳运转速度也是最快；地球走到远日点时，速度最慢，这时太阳运转速度也最慢。因此，当平气的春秋分时，太阳并不在黄赤道交点上，每两个平气间太阳走的黄道度数也并不相等。东魏、北齐时人张子信，他在海岛上居住三十多年，专以浑仪测候日月五星，根据三十多年的实测，他发现一年里面，日月行动的快慢不齐，同时发现了日月蚀的规律。月行的迟速，汉代已经有人推测出来，而日行的盈缩是张子信首先发现的。张子信认识到太阳视运动的不均匀性，“春分后则迟，秋分后则速”（《隋书·天文志》）。他在这方面的发现，对历法的改进是有很大意义的。以后隋刘焯撰《皇极历》时，汲取了张子信的新成果，立盈缩缠差法。唐一行撰《大衍历》，也是在张子信的基础上，提出了较准确的定气概念。


    汉代以前的天文学家一直认为太阳在黄道上每经过一个回归年的运行，它又会回到原来出发的位置上。因此，他们相信冬至点的位置一经测定，就永远不变。实际上，太阳从上一年的冬至到下一年的冬至运行一周天，并没有回到上一年的冬至点上，总要相差一段微小的距离。冬至点每年都要逐渐向后（即向西）移动。据古历法一周365度计算，约七十年七个月后移一度（据现代观测，每年大约后移50.2″，约七十一年八个月后移一度），这种现象称为“岁差”。汉代沿用旧说，认为冬至起于牵牛初度，西汉刘歆</a>已经对它发生怀疑，东汉贾逵更明白说冬至日在斗二十一度又四分之一，因为从春秋战国时测定冬至点后，到贾逵时已经将近四百年，冬至自然会相差五度的。由此可知，汉人固然还不知道所谓岁差现象，但从实测所得，已经发觉这种现象的存在。到了东晋成帝时（约公元330年左右），天文学家虞喜比较了自己的观测结果和历代的天文记录，发现冬至点的位置古今不同，他明确指出太阳在天球上运动一周天，并不等于从冬至到冬至一周岁。这样，他就发现了岁差。虞喜还推算出每五十年，冬至点要在黄道上西移一度，这个数据虽然不算精密，但在天文学史上是一个大进步。祖冲之不仅证实了岁差现象的存在，而且第一个用它来改进历法。不过他在《大明历》里，使用了每四十五年十一个月差一度的数值。以后隋代刘焯在《皇极历》里，改用每七十五年差一度的岁差数值，这和实际情形已相差不远，而这时欧洲却还牢守着每一百年差一度的旧值。


    十六国时期，后秦有天水人姜岌造《三纪甲子元历》，以月食检知日度，所得更为准确。他还发现了“蒙气差”。由于地球周围大气的折射作用，观测者所看到的天体的方向和天体的真方向有差别，天体视高度比真高度大，这两个差别叫做“大气折射改正”，旧称蒙气差。越近地面，蒙气差也越大，渐高渐小，到了天顶就没有蒙气差了。姜岌说：“夫日者……光明外耀，以眩人目，故人视日如小。及其初出，地有游气，以厌日光，不眩人目，即日赤而大也。”（《隋书·天文志》）姜岌对蒙气差现象给以合乎近代学理的解释，这是值得加以珍视的[2]。


    裴秀的《禹贡地域图》　裴秀，字季彦（公元224—271年），河东闻喜（今山西闻喜）人。仕西晋官至尚书</a>令、司空。


    裴秀是一位杰出的地图学家。官至尚书令总理中枢政务，负有掌管全国的户籍、土地、田亩赋税的职责。裴秀因为职务的关系，很重视地图的绘制工作。他认为先秦所绘制的地图已经无法看到了，当时尚被保存在秘书省的一些汉代舆地图或括地图，既没有比例尺的表示，也不考正方位，又未备载名山大川。这些地图虽然也表示了舆地的轮廓，但是粗略简陋，不可依据。至于有些地图，那简直是“荒外迂诞之言，不合事实，于义无取”。于是他就根据当时所绘测的地图，“上考《禹贡》山海川流，原隰陂泽，古之九州，及今（指西晋）之十六州，郡国县邑，疆界乡陬，及古国盟会旧名，水陆径路，为地图十八篇”（《晋书·裴秀传》），名为《禹贡地域图》。


    裴秀在《禹贡地域图》的序文中，还提出了所谓“制图六体”，就是绘制地图的六项原则。他说：“制图之体有六焉。一曰分率，所以辨广轮之度也。”分率，就是比例尺。他说：“有图象而无分率，则无以审远近之差。”就是说有地图而不用比例尺，就不能确定距离的远近，故曰“远近之实，定于分率”。因此，要绘制地图，比例尺是极其重要的。“二曰准望，所以正彼此之体也。”准望，就是方位。他说：“有比率而无准望，虽得之于一隅，必失之于他方。”就是说如果有了比例尺而不确定方位，则某一地的方向从某一方面看是对的，但从其他方面看就不对了。故“准望之法既正，则曲直远近，无所隐其形也”。因此定方位也是极其重要的。“三曰道里，所以定所由之数也。”道里，就是道路实际路线及其距离。他说：“有准望而无道里，则施于山海绝隔之地，不能以相通。”就是说如果只有方位的确定，而没有道路实际路线及其距离的表示，则碰到有山有海的地方，就不知道怎样通行。故“彼此之实，定于道里”。因此讲究实际路线及其距离，也是极其重要的。除了上面三点以外，“四曰高下，五曰方邪，六曰迂直，此三者，各因地而制宜，所以校夷险之异也”。高下、方邪、迂直，都是指与地面倾斜起伏有关的问题而言的。他说：“有道里而无高下、方邪、迂直之校，则径路之数，必与远近之实相违，失准望之正矣。”就是说如果只有道路实际路线及其距离的表示，而不注意到地面的高低起伏和路线曲直的校正，那么道路远近距离的情况，必定与实际不符合，方向也不会准确了。“度数之术，定于高下、方邪、迂直之算，故虽有峻山巨海之隔，绝域殊方之迥，登降诡曲之因，皆可得举而定者。”前三条是绘图的主要原则，后三条是由于地形有起伏变化而绘图者应该加以考虑到的问题。这六条原则，相互补充。除了经纬线和投影外，其余今天地图学上所考虑的主要问题，都已经提到了。从裴秀以后，直到明末，我国地图的绘制方法，基本上是依照裴秀的“六体”。裴秀在地图史上有着重要的地位。


    当时西晋政府绘制了一种《天下大图》，是用八十匹缣绘制的。裴秀认为使用不太方便，于是他以“一分为十里，一寸为百里”的比例，把《天下大图》缩制成《方丈图》。这种《方丈图》携带披阅就都方便多了[3]。


    * * *


    [1]　参考李俨教授著《中算史论丛》；钱宝琮教授主编《中国数学史》。


    [2]　参考陈遵妫教授著《中国古代天文学简史》；钱宝琮教授著《从春秋到明末的历法改革》，载《历史研究》1960年第3期。


    [3]　参考梁海松先生著《裴秀》，载中国科学院中国自然科学史研究室编《中国古代科学家》。