第III部分 论所受的阻碍部分地按照速度之比且部分地按照速度的二次比的物体的运动

    命题XI 定理VIII


    如果一个物体所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比，且只由其固有的力在类似的介质中运动；而且时间被取作一算术级数，与速度成反比的量增加一给定的量成一几何级数。


    以中心C，直角渐近线CADd和CH画双曲线BEe，且AB，DE，de平行于渐近线CH。在渐近线CD上点A，G被给定。且如果时间用均匀地增加的双曲线的面积ABED表示；我说，速度能用长度DF表示，它的倒数GD与给定的CG一起构成按几何级数增长的长度CD。


    因为设小面积DEed是给定的极小的时间增量，则Dd与DE成反比且因此与CD成正比。所以1/（GD）的减量，它（由本卷引理II）是（Dd）/（GDq ），如同（CD）/（GDq ）或者（CG+GD）/（GDq ），亦即，如同1/（GD）+（CG）/（GDq ）。所以，当时间ABED由给定的小部分EDed相加均匀地增长，1/（GD）按照与速度相同的比减小。因为速度的减量如同阻力，这就是（由假设）如同两个量的和，其中的一个如同速度，另一个如同速度的平方；又1/（GD）的减量如同量1/（GD）及量（CG）/（GDq ）的和，其中前者是1/（GD）自己，且后者（CG）/（GDq ）如同1/（GD）q ：因此1/（GD），由于减量的相似（analogus），如同速度。且如果量GD，它与1/（GD）成反比，增加给定的量CG；它们的和CD，在时间ABED均匀地增加时，按几何级数增大。此即所证 。


    系理1 所以，如果点A和G给定，时间由双曲线的面积ABED表示，则速度能用GD的倒数1/（GD）表示。


    系理2 且取GA比GD如同在开始时速度的倒数比在任意时间ABED结束时速度的倒数，点G将被发现。当它被发现，由其他任意给定的时间能发现速度。


    命题XII 定理IX


    对同样的假设，我说，如果［物体］所画出的空间被取作一算术级数，速度增加一给定的量成为一几何级数。


    设在渐近线CD上点R被给定，且竖立垂线RS，它交双曲线于S，画出的空间用双曲线的面积RSED表示；又速度如同长度GD，它与给定的CG一起构成的长度按照几何级数减小，在此期间空间RSED按照算术级数增大。


    因为，由于空间的减量EDde被给定，短线Dd，它是GD自身的减量，与ED成反比，且因此与CD成正比，这就是，如同同一个GD和给定的长度CG的和。但是速度的减量，在与它成反比的时间，且在此期间给定的空间的小部分DdeE被画出，如同阻力和时间的联合，亦即，与两个量的和成正比，其中一个如同速度，另一个如同速度的平方，且与速度成反比；且因此与两个量的和成正比，其中一个被给定，另一个如同速度。所以速度的减量以及直线GD的减量，如同一个给定量和一个减小的量的联合；且因为减量相似，减小的量总相似；即是速度和［直］线GD相似。此即所证 。


    系理1 如果速度由长度GD表示，物体画出的空间如同双曲线的面积DESR。


    系理2 且如果任意假设点R，通过取GR比GD，如同开始时的速度比画出任意的空间RSED后的速度，发现点G。发现点G后，由给定的速度空间被给定，且反之亦然。


    系理3 因此，由于（命题XI）由给定的时间速度被给定，又由本命题由给定的速度空间被给定；从给定的时间，空间将被给定。且反之亦然。


    命题XIII 定理X


    假设一个物体由向下的均匀的重力吸引而直线上升或下降；并且它所受的阻碍部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比：我说，如果过共轭直径的端点引一个圆的和一条双曲线的直径的平行直线，又速度如同自一个给定的点所引的那些平行线的截段；则时间如同扇形的面积，它被自中心向截段的端点所引的直线割下；且反之亦然。


    情形1 首先我们假设物体上升，且以中心D和任意的半直径DB画四分之一圆BETF，又过半直径DB的端点作无穷的［直线］BAP平行于半直径DF。在其上点A被给定，且截段AP被取得与速度成比例。又由于阻力的一部分如同速度且另一部分如同速度的平方；总的阻力如同APquad. +2BAP。连结DA，DP截圆于E和T，且重力由DAquad. 表示，这样重力比阻力如同DAq 比APq +2BAP：则上升的总时间如同圆扇形EDT。


    因为引DVQ，割下速度AP的瞬PQ，和扇形DET的瞬DTV，它对应于时间的一个给定的瞬；又速度的那个减量PQ如同重力DAq 以及阻力APq +2BAP的和，亦即（由《几何原本</a> 》卷2命题12）如同DPquad. 。所以面积DPQ，它与PQ成比例，如同DPquad. ，且面积DTV，它比面积DPQ如同DTq 比DPq ，如同给定的DTq 。所以通过减去给定的小部分DTV，面积随着将来的时间的瞬均匀地减小，且所以与上升的整个时间成比例。此即所证 。


    情形2 如果速度在物体上升中用长度AP表示，如同上面，且阻力被假设为如同APq +2BAP，且如果重力小于能由DAq 表示的，取BD，它的长度使得ABq -BDq 与重力成比例，又DF垂直且等于DB，且过顶点F画双曲线FTVE，它的共轭半直径为DB和DF，且它截DA于E，又截DP，DQ于T和V；则上升的总时间如同双曲线扇形TDE。


    因为在给定的时间的小部分产生的速度的减量PQ，如同阻力APq +2BAP以及重力ABq -BDq 的和，亦即，如同BPq -BDq 。但是面积DTV比面积DPQ如同DTq 比DPq ；且因此，如果向DF落下垂线GT，如同GTq 或者GDq -DFq 比BDq ，且如同GDq 比BPq ，又由分比，如同DFq 比BPq -BDq 。所以，由于面积DPQ如同PQ，亦即，如同BPq -BDq ；面积DTV如同给定的DFq 。所以在每一相等的时间的小部分，由减去相同数目的给定的小部分DTV，面积EDT均匀地减小，且所以与时间成比例。此即所证 。


    情形3 设AP为物体在下落时的速度，且APq +2BAP为阻力，又BDq -ABq 为重力，角DBA为一个直角。且如果以中心D，主顶点B，画直角双曲线BETV截延长的DA，DP和DQ于E，T和V；则这个双曲线扇形DET如同下落的整个时间。


    由于速度的增量PQ，且与它成比例面积的DPQ，如同重力对阻力的超出，亦即，如同BDq -ABq -2BAP-APq 或者BDq -BPq 。又面积DTV比面积DPQ如同DTq 比DPq ，且因此如同GTq 或者GDq -BDq 比BPq ，又如同GDq 比BDq ，再由分比，如同BDq 比BDq -BPq 。所以，由于面积DPQ如同BDq -BPq ，面积DTV将如同给定的BDq 。所以在每一相等的时间的小部分，由加上数目相同的给定的小部分DTV，面积DET均匀地增加，且所以与下落的时间成比例。此即所证 。


    系理 如果以中心D和半直径DA，过顶点A画相似于弧ET的弧At，且类似地对着角ADT：速度Ap比一个速度，物体经时间EDT在无阻力的空间能在上升中失去它或者在下落中获得它，如同三角形DAP的面积比扇形DAt的面积；且因此由给定的时间而被给定。因为速度，在无阻力介质中与时间，且因此与这个扇形成比例；在阻力介质中［速度］如同三角形；且在两种介质中，当速度极小，它接近等量之比，正如扇形和三角形的表现。


    解释


    在物体上升时，此种情形亦被证明：当重力小于能由DAq 或者ABq +BDq 所表示的，以及大于能由ABq -BDq 所表示的，因而必须用ABq 表示。但是我急于转向其他问题。


    命题XIV 定理XI


    对同样的假设，我说，上升或者下降所画出的空间，如同表示时间的面积与另一以算术级数增加或者减小的面积的差；如果由阻力和重力合成的力被取作几何级数。


    解释


    球形物体在流体中的阻力部分来源于黏性，部分来源于摩擦，且部分来源于介质的密度。且阻力的那个部分，它来源于流体的密度，我们说它按照速度的二次比；另一部分，它来源于流体的黏性，是均匀的，或者如同时间的瞬；且因此现在可以进而论及物体的运动，它所受阻碍部分地为均匀的力或者按照时间的瞬的比，且部分地按照速度的二次比。在前面的命题VIII和IX，以及它们的系理中，对打开这一主题的探究之路已很充分。因在那些命题中，对上升物体的均匀阻力，它来源于它的重力，能用来源于介质的黏性的均匀阻力代替，当物体仅由其自身固有的力（vis insita）运动时；在物体直线上升时，可能重力要加上这个均匀阻力；在物体直线下落时，减去它。而且可以进而论及物体的运动，其所受的阻碍部分是均匀的力，部分按照速度之比，且部分按照速度的二次比。且我已在前面的命题XIII和XIV中开辟了道路，其中来源于介质的黏性的均匀阻力能代替重力，或者如上面那样与它复合。但我急于其它问题。