公理或运动的定律

    定律 I


    每一个物体都保持它自身的静止的或者一直向前均匀地运动的状态，除非由外加的力迫使它改变它自身的状态为止。


    抛射体保持它们自身的运动，除非由于空气的阻力而被迟滞，以及被重力向下推进。一个转轮，它的部分被它们的结合持续拉离直线运动，不停止转动，除非被空气迟滞。但是行星和彗星的较大的本体，在阻力较小的空间中，保持它们自身的前进运动和圆周运动很长的一段时间。


    定律 II


    运动的改变与外加的引起运动的力成比例，并且发生在沿着那个力被施加的直线上。


    如果任意的力生成某一运动；两倍的力生成两倍的运动，三倍的力生成三倍的运动，无论力是一次一齐施加，或是逐渐地且相继地施加。且这项运动（它总与生成它的力指向相同的方向），如果物体先前在运动，或者被加到它的运动上，如果它们方向一致；或者从其中被减去，如果它们方向相反；或者倾斜地添加，如果它们是倾斜的，且沿着两者的方向合成。


    定律 III


    对每个作用存在总是相反的且相等的与反作用：或者两个物体彼此的相互作用总是相等的，并且指向对方。


    无论什么东西压或者拉其他东西，它一样多地被压或者被拉。如果有人用手指压一块石头，这个手指也被石头所压。如果马拉一块系在绳子上的石头，马（据我如此说）也被同等地拉向石头；因为绳子在两端伸展，以同样的努力舒展自身，并驱使马朝向石头，而且石头朝向马；阻碍一个的前进与推动另一个的前进来得一样大。如果某个物体碰撞另一个物体，那个物体的运动无论如何被［前一物体］自身的力改变，则反过来，另一个物体的力（由于它们相互的压迫的相等性）使［前一物体］自身的运动在相反的方向做同样的改变。由这些作用产生的相等的变化，不是在速度上，而是在运动上；当然物体不受其他的阻碍。因为速度的变化发生在相反的反向上，由于运动被相等地改变，与物体成反比。这个定律对于吸引亦成立，正如在下面的注释中所证明的。


    系理 I


    一个物体由联合起来的力画出平行四边形的对角线，在相同的时间分开的力画出边。


    如果一个物体在给定的时间，由在地方A单独施加的力M，以均匀的运动由A被携带至B；在同一地方单独施加的力N，物体被自A携带至C：补足平行四边形ABDC，则两个力在相同的时间在对角线上把那个物体自A携带至D。因为，由于力N沿平行于BD的直线AC作用，由定律II这个力一点也不改变由另一个力产生的走向那条直线BD的速度。所以物体在相同的时间到达直线BD，无论施加力N与否；且因此物体在那段时间结束时被发现在那条直线BD的某处。由同样的论证，在相同时间结束时物体在直线CD的某处被发现，且因此它必在两条线的交点D被发现。且由定律I，物体以直线运动自A前进到D。


    系理 II


    且因此，显然，直接的力AD 由任意倾斜的力AB 和BD 合成，且反过来，任意直接的力AD 分解为任意倾斜的力AB 和BD 。的确，这种合成与分解从力学已得到了充分的证实。


    如同从任意一个轮子的中心O伸出的不等的半径OM，ON，由细线MA，NP支持着权A和P，且需求使轮子运动的重力。过中心O引垂直于细线的直线KOL交细线于K和L，且以中心O和间隔OK，OL中的较大者OL画一圆交细线MA于D：又作直线OD，AC平行于它，再者DC垂直于它。因为细线上的点K，L，D是否属于轮子的平面并无差别；无论悬挂在点K和L或者D和L，权的作用相同。设权A的整个力由细线AD表示，且这个力被分解为力AC和CD，其中的AC直接地自中心拉半径OD，对使轮子运动没有一点作用；但是另一个力DC，垂直地拉半径DO，犹如它垂直地拉等于OD的半径OL，效果是相同的；这就是，它与权P有相同的作用，只要那个权比权A如同力DC比力DA，亦即（由于三角形ADC，DOK是相似的）如同OK比OD或者OL。所以权A和P，与处于平直位置的半径OK和OL成反比时，它们的功效相同，且因此停留在平衡的状态：这是天平、杠杆和绞盘的悉知的性质。但是如果任一权较按照这个比大，它的使轮子运动的力也如此大。


    但是如果权p，它等于P，部分地被细线Np支撑，且部分地倚在倾斜的平面pG上：引pH，NH，前者垂直于地平线，后者垂直于平面pG；且如果p的向下的重力由线pH表示，这个力能分解为力pN，HN。如果某个平面pQ垂直于细线pN且截另一平面pG于平行于地平线的一条直线；且权p只倚在这些平面pQ，pG上；它以力pH，HN垂直地压迫这些平面，即以力pN压迫平面pQ，且以力HN压迫平面pG。且因此如果平面pQ被除去，使得权拉紧细线；因为支撑权的细线现在取代了被除去了的平面的地位，线被同样的力pN拉紧，平面先前被它压迫。因此这条倾斜的细线的张力比另一条垂线PN的张力，如同pN比pH。且所以，如果权p比权A按照一个比，它由来自从轮子的中心到它们各自的线pN和AM的最短的距离的反比，和pH比pN的正比复合而成；则两个权有使轮子运动的相同的效力，且因此相互遏制，正如任何人可以试验的。


    且权p，它倚在那两个倾斜的平面上，具有在劈开的面之间的缝隙中的一个楔的作用：且因此楔的和锤的力能知道；因为力，以它权p压迫平面pQ，比一个力，由它权p沿直线pH被推向［两］平面，无论由它自身的重力或者锤的打击，如同pN比pH；因为它比一个力，由它权p压迫另一平面pG，如同pN比NH。且因此螺旋的力可由力的类似分解导出，的确，它是由杠杆推动的楔。所以，这一系理的应用极广，且其真实性由于它的各种用处而被证实；因为由著作家们以不同的方式证明的整个力学依赖刚才所说的。因为由此容易导出机械力，它们通常由轮子的，滚筒的，杠杆的，绷紧的弦的，直着和倾斜着上升的重物的，以及其他的力学的动力构成，还有肌腱使动物的骨骼移动的力。


    系理 III


    运动的量，它由取自在同一方向已完成的运动的和，以及在相反方向已完成的运动的差得到，不因物体之间的作用而改变。


    因为由定律III，一个作用和与它相反的反作用是相等的，且因此由定律II，它们在运动上产生的变化是相等的且朝着相反的方向。所以如果运动发生在相同的方向上；逃跑的物体的运动被加上多少，追赶的物体的运动就被减去多少，于是保持与先前一样。若不然，物体是迎面而来的，从两者的运动中减去相等的量，且因此在相反的方向上所完成的运动的差保持相同。


    因此，如果一个球形物体A是另一个球形物体B的三倍，且有二份的一个速度；又B在同一直线上以十份的一个速度追逐A，且因此A自身的运动比B自身的运动，如同六比十：假定那些运动为六份和十份，则和为十六份。所以，当物体相遇时，如果物体A获得三份或者四份或者五份的运动，则物体B失去相同份数的运动，且因此物体A在反射后以九或者十或者十一份的运动前进，则B以七或者六或者五份的运动前进，和总是十六份的运动，如同以前。如果物体A获得九或者十或者十一或者十三份的运动，且因此在相遇以后以十五或者十六或者十七或者十八份的运动前进；物体B，失去的份数与A获得的同样多，或者失去九份的运动以一份的运动前进，或者失去它向前的十份的运动而静止，或者失于它自身的运动和（据我如此说）更多的一份运动而以一份的运动退行，或者由于十二份的向前运动被减去而以两份的运动退行。且因此同向的运动的和15+1和16+0，以及逆向的运动的差17－1和18－2，总等于十六份，如同相遇和反射之前。但是反射后物体由它们继续进行的运动是已知的，任何一个物体的速度被发现，取它比反射前的速度，如同反射后的运动比反射前的运动。如在最后一种情形，这里物体A的运动在反射前是六份且在反射后为十八份，又在反射前它的速度是二份；它在反射后的速度被发现为六份，由所说的，正如反射前的六份运动比反射后的十八份运动，结果是反射前二份的一个速度比反射后六份的一个速度。


    但是如果物体不是球形的或者在不同的直线上运动且彼此相互倾斜着相撞，需求反射后它们的运动；需知道与两物体在它们相撞的点相切的平面的位置，然后（由系理II）每个物体的运动被分解为两个，一个运动垂直于这个平面，另一个运动平行于同一平面；但平行［于那个平面］的运动，由于物体沿垂直于这个平面的直线相互作用，在反射后保持与在反射前一样；且垂直［于那个平面］的运动在相反的方向上被分配了相等的变化，使得同向时的和以及反向时的差与以前保持一样。物体围绕自己的中心的圆周运动通常也起源于这类反射。但在下面我不考虑这些情形，因为这一问题的各个方面的证明甚为冗长。


    系理 IV


    两个或多个物体的重力的公共的中心，由于物体之间的作用，不改变它自身的或者运动的或者静止的状态；且所以，所有彼此之间相互作用的物体的重力的公共的中心（排除外来的作用和阻碍）或者静止或者一直向前均匀地运动。


    因为如果两个点以均匀的运动在直线上前进，且它们的距离按照给定的比被划分，分点或者静止或者在一条直线上均匀地前进。如果点的运动发生在同一平面上，这被后面的引理XXIII及其系理所证明；如果那些点的运动不发生在同一平面上，由相同的理由可以证明。所以，如果任意数目的物体在直线上均匀地前进，其中任意两个物体的重力的中心或者静止或者在一条直线上均匀前进；因为任意直线，它连结在直线上均匀前进的物体的中心，被这个公共的中心按给定的比划分。类似地，这两个物体和任意第三个物体的公共的中心或者静止或者在一条直线上均匀前进；因为那两个物体的公共的中心和第三个物体的中心之间的距离被它按给定的比划分。由同样的方式，这三个物体和任意第四个物体的公共的中心或者静止或者在一条直线上均匀前进；因为那三个物体的公共的中心和第四个物体的中心之间的距离被它按给定的比划分，且如此以至无穷。所以，在诸物体的一个系统中，在其中物体既无彼此之间的相互作用，又无外面的作用施加与它们，且因此每个物体在独自的一条直线上均匀地前进，所有物体的重力的公共的中心或者静止或者一直均匀地运动。


    此外，在两个物体彼此相互作用的一个系统中，由于两个物体中的每一个离重力的公共的中心的距离与物体成反比；这些物体的相对的运动，无论靠近那个中心或者从同一中心退离，彼此之间相等。所以，因为对运动所发生的变化是相等的且指向相反的方向，那些物体的重力的公共的中心在它们之间的相互作用下，既不被推进又不被迟滞，亦不改变它自身的运动的或者静止的状态。但是在多个物体的一个系统中，因为任意两个彼此相互作用的物体的重力的公共的中心不因为那个作用而改变它自身的状态；又，其余的物体的重力的公共的中心与那个作用无关，因此一点也不受它的影响；但这两个中心之间的距离被所有物体的公共的中心分成的部分与它们的中心所拥有的物体的总和成反比；且因此，由那两个中心保持它们自身的运动的或静止的状态，所有物体的中心也保持它自身的状态：显然，由来自两个物体的相互作用绝不改变所有物体的中心的运动的或静止的状态。但是在这样的一个系统中，物体彼此之间的作用或者发生于两个物体之间，或者由两个物体之间的作用合成；且所以对所有物体的公共的中心的运动的或静止的状态绝不引起变化。由于那个中心当物体之间没有相互作用时，或者静止，或者在某一条直线上均匀地前进；虽然物体之间相互作用，它继续同样的状态，或者总是静止，或者总是均匀地前进，除非从外面施加在系统上的力使它离开这一状态。所以，对运动的或者静止的状态的保持，多个物体的一个系统的与单个物体的定律是一样的。因为无论是单个物体或者诸物体的一个系统，它们的前进运动总应由重力的中心的运动估定。


    系理 V


    被给定空间所包围的诸物体之间的相互运动是同样的，无论那个空间或者是静止的，或者是均匀地一直向前运动而没有圆周运动。


    因为朝向相同方向的运动的差，以及朝向相反方向的运动的和，在开始时（由假设）在这两种情形中是相同的，且碰撞和冲击（impetus）起源于这些和或者差，由于它们物体相互冲撞。所以由定律II，碰撞的作用在两种情形中是相等的；且因此在一种情形中相互之间的运动与在另一种情形中相互之间的运动保持相等。这被经验恰当地证明。在一条船上，无论船静止，或者它一直均匀地前进，所有的运动以相同的方式发生。


    系理 VI


    如果诸物体彼此之间无论以何种方式运动，它们被沿着平行线的相等的加速力推动；它们都将继续彼此之间的运动，遵循的方式就如同没有那些力作用一样。


    因为那些力，由相等的作用（按照被移动的物体的量）且沿着平行线，使每个物体由定律II被相等地（对于速度）移动，且因此它们之间彼此的位置和运动绝不改变。


    解释


    迄今为止我所陈述</a>的原理，已被数学家们接受且被多种实验所证实。由前两条定律和前两个系理，伽利略 发现重物的下落按照时间的二次比，且抛射体的运动在抛物线上进行；这与实验符合，除了那些运动由于空气的阻力而略有迟滞。当一个物体下落时，均匀的重力相等地作用，在每一相等的时间小段中，施加相等的力于那个物体，且产生相等的速度：在整个时间内施加的整个力生成的整个速度与时间成比例。且在成比例的时间画出的空间如同速度和时间的联合；亦即按照时间的二次比。又当一个物体被向上抛出时，均匀的重力施加力且被夺去的速度与时间成比例；上升到最大高度的时间如同被夺去的速度，且那个高度如同速度和时间的联合，或者按照速度的二次比。又，一个物体沿任意直线被抛射，起源于它的抛射的运动与起源于它的重力的运动被结合在一起。因此，如果物体A在给定的时间仅由抛射的运动能画出直线AB，且仅由下落的运动在相同的时间能画出高度AC：补足平行四边形ABDC，则那个物体由复合的运动在时间结束时在地方D被发现；且曲线AED，它由那个物体画出，是一条在A与直线AB相切的抛物线，它的纵标线 （6） （ordinata）BD如同ABq （7） 。依据相同的定律和系理，关于摆在振动的时间方面的问题已被证明，这也由对时钟的日常经验所支持。从这些相同的定律和系理以及第三定律，克利斯托弗·雷恩 爵士，神学博士约翰·沃利斯和克利斯蒂安·惠更斯 这些无疑是前一代名列前茅的几何学家，分别发现了坚硬物体碰撞和反射的规律，且在几乎相同的时间通报给皇家学会 ，它们之间（相对于这些定律）完全相符，的确沃利斯 首先，其次是雷恩 和惠更斯 公布了发现。但是向皇家学会 用摆的实验证实这些规律的真实性的是雷恩 ；不久，杰出的马略特 认为它适宜用一整本书来阐述。但是为了使这个实验与理论准确地符合，必须既要考虑空气的阻力，又要考虑相遇物体的弹性力。设球形物体A，B悬挂在中心为C，D的平行且相等的细线AC，BD上。以这些中心和间隔画半圆EAF，GBH，它们被半径CA，DB平分。物体A被拉到弧EAF上的任意点R，且（拉开物体B）由此释放，经过一次振动后它返回到点V。RV是迟滞，它来自空气的阻力。设ST是这个［弧］RV的四分之一，位于中间，这自然使得RS和TV相等，且RS比ST如同3比2。则ST是［物体］自S下落到A期间所遇到的迟滞的一个近似的表示。物体B被放回到它自己原来的地方。物体A自点S下落，且它在反射的地方A时的速度，在没有可感觉到的误差的情况下，与如果它在真空</a>中从地方T下落时一样大。所以这个速度被弧TA的弦表示。因为摆在最低点的速度如同弧的弦，弧在下落中被画出，是几何学家习知的一个命题。反射之后物体A到达地方s，且物体B到达地方k。除去物体B并发现地方v，如果物体A由此被释放，一次振动后它返回到地方r，设st是rv的四分之一且位于中间，这自然使得rs和tv相等；且物体A在地方A刚反射后的速度由弧tA的弦表示。因为t是那个真实的和正确的地方，如果取消空气的阻力，物体A应上升到那里。由类似的方法，我们校正地方k，物体B上升到那里；并发现地方l，在真空中那个物体应上升到那里。按照这种方式能使我们的实验中的一切，仿佛在真空中一般。最后物体A乘以（据我如此说）弧TA的弦，它显示物体A的速度，以得到刚刚在反射前在地方A它的运动；然后乘以弧tA的弦，以得到刚刚在反射后在地方A它的运动。且因此物体B乘以弧Bl的弦，以得到刚刚在反射后它的运动。且由类似的方法，当两个物体从不同的地方同时释放，我们需要发现两者在反射之前，以及反射之后的运动；且之后我们能比较它们之间的运动，并推断反射的效应。按这种方式，以十呎长的一架摆检验此事，既用不等的物体，又用相等的物体，且使物体经过一个很大的间隔后相遇，如八或者十二或者十六呎；我总是发现，在三吋的测量误差的限度内，当物体彼此平直地相遇，物体在相反的方向所引起的运动的变化相等，且因此作用和反作用总相等。于是，如果物体A以九份的运动碰到静止的物体B，且失去七份的运动，在反射后以二份的运动继续前行；物体B以那七份的运动退回。如果物体迎面相遇，A以十二份的运动且B以六份的运动，又A以二份的运动退回；B以八份的运动退回，两者中的每一个都减少了十四份的运动。从A的运动中减去十二份的运动，则没有剩下的运动，减去另两份，则产生向着相反方向的二份的一个运动；且由是从物体B的六份的运动减去十四份的运动，产生向着相反方向的八份的一个运动。但是，如果物体沿相同的方向运动，A以十四份的运动较为迅速，B以五份的运动较为缓慢，且反射后A以五份的运动前进；B以十四份的运动前进，结果是九份的运动从A转移到B。且在其余的情形亦如此。通过物体的相遇和撞击，绝不改变运动的量，它由来自同向运动的和以及反向运动的差确定。因为我把测量中一吋或者二吋的误差归之于以充分的精确性做每一件事时的困难性。困难在于，一方面，同时释放摆，使得物体彼此在最低的地方AB相撞；另一方面，标记物体相遇后上升到的地方s，k。但是摆的物体的部分的不相等的密度，以及结构由于其他的原因的不规则性，也会引起误差。


    此外，为了防止有人非难此规律，这个实验就是为证明它而发明的，认为这个规律预先假设物体或者是绝对坚硬的，或者至少有完美的弹性，在自然的组成中找不到这类物体；我加以补充，刚才所描述的实验对柔软的物体和坚硬的物体的成功，无疑它们不依赖坚硬的状态。因为如果对不是完全坚硬的物体验证那个规律，只需按弹性力的量的一个确定的比例减小反射。在雷恩 和惠更斯 的理论中，绝对坚硬的物体彼此以相遇的速度向后退。这对完全弹性的物体可以更确切地证实。对不是完全弹性的物体，退回的速度必须与弹性力一起减小；因为那个力（除非物体的部分由于相遇而被损坏，或者仿佛在锤击下而扩大）是（就我所能断定的而言）无疑的和确定的，并使物体彼此以相对的速度退回，它比相遇时的相对的速度按照给定的比。我用羊毛线紧紧地缠成并压紧的球对此做了实验。首先释放摆并测量它们的反射，我发现了它们的弹性力的量；然后我由此确定在其他相遇情形时的反射，且它们与实验相符。［羊毛］球彼此总以一个相对的速度退回，它比相遇时的相对速度约略如同5比9。由钢制成的球几乎以相同的速度退回，由软木制成的球以略小的速度退回，但玻璃球的相对速度之比约为15比16。按这种方式由理论确证了关于碰撞和反射时的第三定律，这与实验完全相符。


    关于吸引，我如此简捷地证明此事。任意两个物体A、B相互吸引，想象任意的障碍物居于中间，阻止它们相遇。如果其中一个物体A受到另一物体B的牵引比另一物体B受到前一个物体A的牵引大，则障碍物受物体A压迫的推动比受物体B压迫的推动大，且因此不能保持平衡。较强的压迫占优势，且使两个物体和障碍物［构成］的一个系统向着B的方向一直运动，在自由的空间中以总被加速的运动前进，以至无穷。这是荒谬的且与第一定律矛盾。因为由第一定律，此系统应保持它自身的静止的或者均匀地一直运动的状态，且因此物体相等地推动障碍物，所以彼此被相等地牵引。我曾经用磁石和铁对此实验。如果把它们分别放在靠近的杯子中，并排漂浮在蓄积着的水中；二者之中的任何一个不推进另一个，但是由于向两个方向的吸引相等，它们抵抗相互趋向对方的努力，最后由于处于平衡而静止。


    于是地球和它的部分之间的重力也是相互的。设地球FI被任意的平面EG截成两部分EGF和EGI：则这些部分彼此向着对方的重量相等。因为如果另一个平面HK，它与前一个平面EG平行，较大的部分EGI被它截成两部分EGKH和HKI，使HKI等于先前割下的部分EFG；显然中间的部分EGKH固有的重量不偏向末端的部分中的任何一方，而在两者之间处于平衡，据我如此说，它被悬浮着，并且静止。但末端的部分HKI自身的整个重量压在中间的部分上，且那个中间的部分推动另一末端的部分EGF；且因此，力，由它部分HKI和EGKH的和EGI趋向第三部分EGF，等于部分HKI的重量，亦即第三部分EGF的重量。且所以两个部分EGI，EGF向着对方的重量是彼此相等的，正如我要证明的。且除非那些重量相等，否则漂浮在自由的以太中的整个地球，会退让较大的重量，且逃离以太远去，以至无穷。


    正如物体在相遇和反射中的势是相同的（idem pollent），它们的速度与它们的固有的力成反比；于是在机械的运动中那些动作者的势是相同的，且彼此承受相反方向的努力，动作者的速度，如果沿着它们的力的方向确定，与力成反比。因此使天平的臂运动的重物是等势的（?quipollent），如果在天平的振动期间它们与它们的向上或者向下的速度成反比：这就是，直线上升或者下降的重物是等势的，如果它们与天平的轴和悬挂它们的点之间的距离成反比；如果这些重物由于斜面或其他障碍物而倾斜地上升或下降，它们是等势的，如果它们与上升或者下降成反比，只要沿垂直的方向取得：之所以如此是因为重力的方向是向下的。类似地，在滑轮或者滑轮组中，手直接拉绳的力，它比无论竖直或倾斜上升的重物如同重物垂直上升的速度比手拉绳的速度，手拉绳的力承担重物。在时钟或类似的仪器中，它们由彼此结合在一起的小轮制成，推进和阻碍小轮的运动的相反的力，如果与它们施加于小轮上的部分的速度成反比，则它们彼此相互承受。压一个物体的螺旋的力比手转动柄的力，如同柄在被手推动的那个部分的旋转速度，比螺旋向着被压迫的物体前进的速度。一个力，由它一个楔压迫它劈开的木头的两部分，比锤击在楔上的力，如同楔沿着锤加在它之上的力的方向上的速度比一个速度，由它木头的部分沿着垂直于楔的表面的直线退离楔。且所有机械均同此理。


    机械的功效和用处仅系于，为了减小速度我们增加力，且反之亦然；由此，对适当的装置的所有的类型，问题：以给定的一个力移动给定的一个重物，或者由一给定的力克服任意给定的阻力，已被解决。因为如果机械如此制造，使得动作者的和抵抗者的速度与它们的力成反比；动作者能承受阻力，如果速度的差异较大，它将克服阻力。无疑，如果速度的差异如此之大，使得它能克服所有的阻力，如通常起源于接触的物体彼此滑过的摩擦，起源于连续的物体彼此被分开时的凝聚力，以及起源于提升物体时的重量；克服了所有这些阻力，剩余的力产生一个与它自身成比例的运动的一个加速度，部分地在机械的部件上，部分地在阻碍的物体上。但论述力学不是我目前之事。由那些例子我希望证明运动的第三定律的广泛性和确定性。因为，如果一个动作者的作用由它的力和速度联合起来确定，且如果类似地，抵抗者的反作用由它的各个部分的速度和起源于它们的摩擦、凝聚、重量和加速度的阻力联合起来确定；则作用和反作用，在所有用到的装置中，彼此总相等。且在作用通过装置传播并最终施加在所有阻碍物体上的这个限度内，它最终的方向总与反作用的方向相反。